Thứ Bảy, 21 tháng 12, 2013

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích

1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = \dfrac{9}{4},\,\,(1)$$
Lời giải
ĐK : $x \geq - \dfrac{3}{2} $.
Đặt $\sqrt{x + \dfrac{3}{2} } = t , t \geq 0 $ phương trình $(1)$ trở thành :
$$(t^2 - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4} – t \Leftrightarrow t(t^3 - 3t + 1) = 0 \Leftrightarrow
\left[ \begin{array}{l} t = 0 \\ t^3 - 3t + 1 = 0,\,\, (2) \\ \end{array} \right.$$
$(2)$ giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt $x = 2cost , t \in (0 ; \pi)$ để đưa về dạng : $cos3t = - \dfrac{1}{2}$

Tổng quát: Giải phương trình
$$x^2 + \sqrt{x + a} = a^2$$
Với $a$ là hắng số cho trước .

Ví dụ 16: Giải phương trình:
$$x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} =6x,\,\, (1)$$
Lời giải:
ĐK : $x \geq - 2$
Viết lại $(1)$ dưới dạng :
$$x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0,\,\,(2)$$
Đặt $t = \sqrt{x + 2} \geq 0 $. Khi đó $(2)$ trở thành :
$$x^3 - 3xt^2 + 2y^3 \Leftrightarrow (x - t)^2(x + 2t) = 0$$
Do vậy $x = t$ hoặc $x = -2t$
*$x = t $. Ta có :
$$x = \sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0 \\ x^2 - x - 2 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2$$
*$ x = -2t$ . Ta có :
$$x = - 2\sqrt{x + 2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \leq 0 \\ x^2 - 4x - 8 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2 - 2\sqrt{3}$$
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : $x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}$

Ví dụ 17: Giải phương trình:
$$x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [1 ; 6],\,\,\ (1)$
Đặt $t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0,\ \ \ (2)$ phương trình đã cho trở thành :
$$t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 ,\ \ \ (3)$$
$$\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0 \Leftrightarrow (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0$$
Đối chiếu với hai điều kiện $(1)$ và $(2)$ thay vào và giải ra :
$$x = \dfrac{11 - \sqrt{17} }{2}$$

Ví dụ 18: Giải phương trình:
$$x = \left (2006 + \sqrt{x} \right )\left (1 - \sqrt{1 - \sqrt{x}} \right )$$
Lời giải:
ĐK : $x \in [0 ; 1],\ \ \ \ (1)$
Đặt $t = \sqrt{1 - \sqrt{x} }\Rightarrow 0 \leq t \leq 1$. Khi đó:
$$\sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2 $$
phương trình đã cho trở thành :
$$(1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2$$
$$\Leftrightarrow (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2 \Leftrightarrow 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)$$
Vì $0 \leq t \leq 1$ nên: $t^2 + t - 1003 < 0$
Do đó phương trình tương đương với :
$$t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1$$
Do vậy $x = 0$ (thỏa $(1)$)

2. Dùng 2 ẩn phụ.
Ví dụ 9: Giải phương trình
$$\sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3$$
Lời giải
Đặt $ a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}$
$$\Rightarrow a^2 - b^2 = 9x – 3 \Rightarrow a - b = a^2 - b^2 \Leftrightarrow (a - b)(a + b - 1) = 0$$
*$ a - b = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{3}$
*$ a + b - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - b = 9x - 3 \\ 2a = 9x - 2 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{{56}}{{65}} \\ \end{array} \right.$

Ví dụ 20: Giải phương trình
$$2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8},\ \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ - 2 \leq x \leq 1$ hoặc$ x \geq 2$
Đặt $ u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2}$ ta có :
$$ u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .$$
$(1)$ trở thành :
$$ 2(u^2 - v^2) = 3uv \Leftrightarrow (2u + v)(u - 2v) = 0 \Leftrightarrow u = 2v$$
(Do $ 2u + v > 0$)
Để tìm $x$, ta giải :
$$\sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2} \Leftrightarrow x^2 - 6x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{13}$$
Kết hợp với điều kiện, phương trình $(1)$ có 2 nghiệm : $ x = 3 \pm \sqrt{13}$

Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

Ví dụ 22: Giải phương trình
$$\sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}$$
Lời giải:
ĐK : $ 0 \leq x \leq 1$
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l} u = \sqrt[4]{x} \\ v = \sqrt[4]{{1 - x}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u \ge 0 \\ v \ge 0 \\ u^4 + v^4 = 1 \\ \end{array} \right.$
Từ phương trình ta được :
$$ u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v$$
$\Leftrightarrow (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0$

$\Leftrightarrow (u - v)(1 - u - v) = 0 $( Do $ u + v > 0$)

từ đó ta giải ra được các nghiệm :$ x = 0 , x = \dfrac{1}{2} , x = 1 $

3. Dùng 3 ẩn phụ.
Ví dụ 23: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2$$
Lời giải:
Đặt $ a = \sqrt[3]{7x + 1} , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c = \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1}$, ta có:
$$ a + b + c = 2$$
$$ a^3 + b^3 +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8,\ \ \ (1)$$
Mặt khác: $ (a + b +c)^3 = 8,\ \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)$$
Nên:
$$ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - b \\ b = - c \\ c = - a \\ \end{array} \right.$$
Từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình: $ S = {- 1 ; 0 ; 1 ; 9}$

Ví dụ 24: Giải phương trình
$$\sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0, \ \ \ (1)$$
Lời giải:
Đặt $ a = \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9}$ Suy ra:
$$ a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3$$
khi đó từ $(1)$ ta có:
$$ (a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 +c^3) \Leftrightarrow (a + b)(b + c)(c + a) = 0$$
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình: $ x = -3 ; x = 4 ; x = \dfrac{8}{5}$

Theo diendantoanhoc.net

0 nhận xét:

Đăng nhận xét

- Hãy dùng tiếng Việt có dấu để mọi người dễ đọc hơn!
- Các bạn hãy Mã hóa Code trước khi chèn vào nhận xét
- Chèn link bằng thẻ: <a href="URL liên kết" rel="nofollow">Tên link</a>
- Tạo chữ <b>đậm</b> và <i>Ngiêng</i>
- Hướng dẫn gõ công thức Toán trên blog bằng MathType
Thank you